تمامریختیها در آنالیز بدون نرم

در این رساله قصد داریم مفهوم تمامریختی را روی فضاهای بدون نرم، به روش [6]، بررسی کنیم. اهمیت مسئله، علاوه بر بدون نرم بودن فضاها، در این است که دامنه های نگاشتهای مورد نظر، می توانند مجموعه هایی غیرمحدب و حتی با درون تهی باشند. مطالب فوق، به طریق [7]، در آخرین بخش شرح داده شده است . ابتدا به بیان مطالبی می پردازیم که آگاهی از آنها برای شروع کار ضروری است . سپس رسته های c و c c و خواص آنها را بررسی می کنیم. در اینجا، یک فضا، یک مجموعه x همراه با نگاشت است که به هر نقطه x x، خانواده ای از پالایه ها، ، را نسبت می دهد به گونه ای که فراپالایه اصلی در x، در این خانواده قرار می گیرد. اگر عضوی از باشد، آن را بصورت نشان می دهیم. نگاشت f:x--->y را یک نگاشت (نکاشت پیوسته) گوییم، هرگاه همگرایی پالایه ها را حفظ کند، در x، --->f(x) در y را ایجاب کند. حال اگر x یک فضای برداری روی c و همچنین یک فضا باشد، به گونه ای که جمع آوری برداری و ضرب اسکالر، هر دو نگاشتهایی پیوسته باشند، x یک فضا نامیده می شود و هر نگاشت کلی پیوسته، یک نگاشت در نظر گرفته می شود. قسمت اصلی کار بر روی فضاهای به طور بسته نشانده شده می باشد، یعنی فضاهایی همچون e، که نگاشت متعارف @e (x)(l)l(x), @e: e--->e** یک نشانده بسته است . کارآیی این فضاها در منکف و کامل بودن آنهاست . برای تعریف تمتامریختی، نیاز به یک نظریه حساب دیفرانسیل و انتگرال داریم که براساس [10]، در فصل سه به شرح آن می پردازیم. اما برخلاف آن که از روی چند اصل موضوع، انتگرال را تعریف می کند، در اینجا با توجه به [4] وجود یک یکریختی طبیعی را در فصل دو، اثبات می کنیم و سپس در فصل سه با معرفی حوزه های جدیدی به نام حوزه های مماسی نظریه حساب دیفرانسیل و انتگرال، روی این حوزه ها ارائه می شود. در فصل چهار، مفهوم تمامریختی را بیان کرده و نشان می دهیم در حالت کلاسیک ، برقراری این مفهوم با صادق بودن معادلات کوشی - ریمان معادل است . سپس برای حالتهای خاصی که دامنه های نگاشتها، زیر مجموعه هایی از و یا باشند، با بیان قضیه هایی همچون قضیه انتگرال کوشی، وجود بسط تیلور و... اثبات می شود که ، یعنی مانند حالت کلاسیک هر نگاشت تمامریخت ، از هر مرتبه تمامریخت است . در بخش بعدی همین حکم برای فضاهای باز محدب وار بررسی می شود. سرانجام به معرفی دسته ای از حوزه های مماسی می پردازیم که درون آن تهی است . ضمنا برای مراجعه آسان، صورت بعضی از قضیه های مهم که مورد استفاده قرار خواهند گرفت را، در بخش پیوست بیان می کنیم.